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ノギス 不確かさ推定

-不確かさ推定の事例-
■ 測定の目的
測定の目的は測定量の値を決定することであ
る。したがって,測定は測定量,測定の方法,測
定手順を明示することからはじまる。
測定の結果は測定量の値の近似値あるいは推定
値に過ぎない。このため推定値の不確かさの記述
を伴って完全なものになる。また,測定量は実際
的な目的に対して値が定まるように定義しなけれ
ばならない。例えば,金属棒の長さをノギスの正
確さで測定する場合には,金属棒を測定したとき
の温度を含める必要がある。
<事例1>
■ 測定の概要
金属棒の直径を求める。
■ 測定方法
ノギスを用いて,金属棒の直径を5回測定し,
その平均を求める。
測定は,温度20℃±2℃の室内で行う。ただし,
温度はリアルタイムで測定し補正を行うものとす
る。金属棒の熱膨張率は文献より,仮に28.9×
10-4(K-1)とする。
■ 測定機器
ノギス:校正証明書より拡張不確かさ0.05a
デジタル温度計:分解能0.1℃
■ 不確かさのモデル式
この場合,測定量(金属棒の直径)Yはノギス
の読みXであり,一般的にモデル式を表すと
Y=X
となる。モデル式は,数学モデル,数学的モデル,
数式モデル,関数モデル等いろいろに呼称されて
いるが,ここではあまり抵抗のないモデル式と呼
ぶことにする。
さらに,金属棒の直径の算定式に熱膨張率や温
度の要因を考慮すると次式で表わされ,これをモ
デル式とする。
■ 不確かさの要因
(1)金属棒の直径dの不確かさ(合成標準不確か
さ):
(この表記はdの関数を意味しない不確かさを表す記号である。)
(2)ノギスの指示値dnの不確かさ:
(3)室温t の不確かさ:
(4)熱膨張率αの不確かさ:
■ 直径測定の不確かさの推定式
直径測定の不確かさはモデル式を用いて次の合
成標準不確かさの式から求める(5月号p.45参照)。
■ 要因別の標準不確かさ
(1)ノギスの指示値の不確かさを求める
ノギスの校正の不確かさと繰り返し測定の不確
かさを考える。
①ノギスの校正の不確かさ
ノギスの校正証明書に,拡張不確かさ0.05a
(k=2)と記載されていたとする。
&建材試験センター 建材試験情報8 ’07 37
新JISたより..
不確かさの考え方⑥..
(6.1)
ここに,
[a]
:金属棒の直径[a]
:ノギスの指示値[a]
:熱膨張率[K -1]
:金属棒の温度[℃]
ここに, :直径の合成標準不確かさ[a]
:ノギスの指示値の標準不確かさ[a]
:温度測定の標準不確かさ[K]
:熱膨張率の標準不確かさ[K -1]
の感度係数[K/K]
の感度係数[a/K]
の感度係数[a・K]
[a](6.2)
[a]
②繰り返し測定の不確かさu rep
金属棒全体の直径の不確かさを評価するために
は,中央を含めて場所をずらして測定することが
考えられるが,ここでは,便宜的に金属棒の中央
で方向をずらして5回測定したデータを用いる
(表1)。なお,測定作業による不確かさは繰り返
し測定に含めるものとする。
③ノギスの指示値の標準不確かさ
(2)温度測定の不確かさを求める。
温度は,分解能が0.1℃の温度計によって測定
する。室温の変動は補正されるが,分解能0.1Kの
読み値によって不確かさが生じる。
なお,リアルタイムの補正を行わない場合は,
室温の変動による不確かさも考慮する必要がある。
このような場合は一様分布とみなし,不確かさは,
となる(図1)。
④熱膨張率の不確かさは,他の不確かさに比べて
小さいので除外する
■ 感度係数の意味
感度係数は入力量(ノギスの読み)が測定値
(金属棒の直径)に与える影響の大きさを表して
いる。モデル式(6.1)を温度t,熱膨張率の
関数に変形する。
(6.1),(6.3),(6.4)式の2項目は定数項とみ
る。, , の関数で表されている。これら
の式の, , の係数が“感度係数”である。
感度係数は一般式では偏導関数(偏微分係数)で
表す。
つまり, , , の不確かさ, ,
にそれぞれの感度係数を乗じることによっ
て,それぞれの要因が直径の単位aに変換され,
測定の不確かさに与える影響の度合いを示
すことになる(図2)。ここで,測定した直径の読
みの平均=32.26a,熱膨張率=28.9×10-4
(K-1)を代入して具体的な感度係数を求める。な
お,熱膨張率の不確かさは除外したので感度係数
は求めない。
■ 合成標準不確かさ
以上の結果を(6.2)式に代入して合成標準不確
かさを求める。この計算はエクセル等によるバジ
ェットシートで自動的に計算してくれる。
38 &建材試験センター 建材試験情報8 ’07
図1 温度の一様分布に基づく評価
(6.3)
(6.4)
回数
..
..
1..
2..
3..
4..
5..
合計..
読取値
..
..
32.35..
32.23..
32.33..
32.21..
32.18..
161.30
平均値..
との差..
0.09..
-0.03..
0.07..
-0.05..
-0.08..
0.00
差の二乗
..
..
0.0081..
0.0009..
0.0049..
0.0025..
0.0064..
0.0228
表1 繰り返し測定データ
(K)
[a]
■ 拡張不確かさ
合成標準不確かさから拡張不確かさへの変換は
信頼の水準を反映する包含係数を用いる。拡張不
確かさは U=k×ucで表す。測定結果はy±Uで
表わされる。一般的にはk=2を採用し,信頼の水
準がほぼ95%に相当すると考える。k=2とした場
合,y-Uとy+Uの区間の中にほぼ95%の信頼の
水準で測定値が存在していることを示している。
拡張不確かさを表示する場合には,それから標準
不確かさを逆算できるように包含係数kを併記す
るのがルールである。
■ バジェットの作成
以上の結果をバジェットシート(表2)にまとめ
る。その手順は以下のとおりである。○内の数字
はバジェットシートの番号を示す。
(1)値の欄に校正証明書,実験データで得た標準
偏差,温度計の分解能等の数値を入れる。
(2)確率分布を決定する。
(3)値の欄の数値を確率分布で決まる除数で除し
て標準不確かさを求める②③④。単位に注意
する。
(4)指示値の標準不確かさ①は,②と③の標準不
確かさを二乗和の平方根で合成して求める。
(5)①及び④の標準不確かさに感度係数を乗じて
標準不確かさをa単位に合わせる。
(6)a単位に合わせた①と④を二乗和の平方根で
合成し,合成標準不確かさを求める⑤。
(7)合成標準不確かさに感度係数(k=2)を乗じ
て拡張不確かさ⑥を求める。
(8)測定結果に不確かさを加味して表示する⑦。
(文責:製品認証部 上園正義)
&建材試験センター 建材試験情報8 ’07 39
..
①..
②..
③..
④..
⑤..
⑥..
⑦..
   不確かさの要因..
ノギスの指示値の不確かさ..
ノギスの校正の不確かさ..
繰り返し測定の不確かさ..
温度による不確かさ..
合成標準不確かさ..
拡張不確かさ(k=2)..
測定結果の表示..
記号.. 値  ..
..
0.005 A..
0.0338 A..
0.05 ℃..
標準不確かさ..
0.0420 A ..
0.025 A ..
0.0338 A ..
0.0289 k
感度係数..
1 K/K..
..
..
0.0932 A/K
標準不確かさ..
0.0420 A..
..
..
0.00269 A..
0.0421 A..
0.084 A
備考..
-..
校正証明書より..
5回測定..
分解能より..
-..
-..
-..
確率分布..
..
正規..
正規..
一様..
除数..
..
2..
1..
3
 =3236±0.084A( =2)..
温度の不確かさに感度係数を乗じる..
ことによって、A単位に変換する..
u( t d) = c ・t u(t) + const
u( t d)..
u(t)..
[t ℃]..
d[A]..
図2 入力量の不確かさが測定量の不確かさに与える影響
表2 パジェットシート
<訂正とお詫び>
2007年5月号新JISたより「不確かさの考え方⑤」に訂正
がありました。
訂正前:P45右段10~12行目
「このとき,長期間にわたる温度変化や測定期間中の温
度変化を考慮し,温度計の分解能に起因する不確かさ
は考慮する必要はない。」
訂正後:「このとき,温度計の分解能や測定期間中の温
度変動を考慮する。」